Analyse des filtres récursifs ou RII

1. Introduction             

Les filtres récursifs ont une équation de récurrence de la forme :

.

Après avoir appliqué la transformée en Z à cette équation, on peut écrire la fonction de transfert sous la forme :

Remarque :  * le filtre est d'orde q (q pôles au dénominateur)                     

* le filtre est dit purement récursif si le numérateur ne contient que le terme en

.

2. Analyse des filtres purement récursifs du premier ordre

        2.1. Equation de récurrence et fonction de transfert               

Ce type de filtre a une équation de récurrence de la forme :

(

et

sont des réels).

D'où :

.

        2.2. Réponse impulsionnelle

               2.2.1. A partir de l'équation de récurrence                         

C'est la réponse à une impulsion de Dirac, on a donc :		car cette impulsion vaut 1 pour k=0 et 0
ailleurs.

On en déduit :

.

Suivant la valeur de

, on a des réponses différentes : * Si

, le filtre est stable.

* Si

, le filtre est à la limite de l'instabilité.

                   

* Si

, le filtre est instable.

               2.2.2. Calcul à partir de la fonction de transfert

On sait que :

D'où

. On effectue la transformée en Z inverse pour trouver :

.

Remarque : la fonction de transfert d'un système est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle.

        2.3. Réponse indicielle         

C'est la réponse à un échelon :

.

Si on suppose

, on a :

         2.4. Réponse fréquentielle 

avec

D'où :

et

                                                                                     

à kpi près

3. Analyse des filtres purement récursifs du second ordre

Un tel filtre a une équation de la forme :

avec

,

et

réels.

Ainsi qu' une fonction de transfert en Z du type :

.

4. Analyse des filtres récursifs d'ordre quelconque

        Il faut se ramener à une combinaison des éléments suivants :

* un filtre non récursif d'ordre quelconque                                                                                                    

* des filtres purement récursifs du second ordre                                                                                                    

* des filtres récursifs du second ordre avec des pôles complexes conjugués                                                                                                    

* un filtre récursif du premier ordre (éventuellement) .