SYNTHESE DE FILTRES NUMERIQUES NON RECURSIFS

EX FN2:  Synthèse d'un filtre non récursif

1. Donner la relation de récurrence donnant, dans le cas général, le fonctionnement d'un filtre non récursif.

2. Quel lien existe-t-il entre les coefficients de pondération et la réponse impulsionnelle ?

3. Donner les expressions de la fonction de transfert en Z, ainsi que la fonction de transfert en fonction de .

4. Conception d'un filtre numérique passe-bas idéal qui a comme fréquence de coupure Fe /4.

Un tel filtre est défini par la réponse fréquentielle ci-contre :

          4.1 Commenter la réponse représentée ci-contre. Justifier qu'il s'agit bien de la réponse fréquentielle d'un filtre numérique passe-bas de fréquence de coupure Fe/4.

          4.2 Montrer que la réponse impulsionnelle peut s'écrire :

                  Représenter . représente donc les coefficients du filtre idéal.

          4.3 Quelle est la fréquence maximale du signal que l'on peut appliquer à l'entrée du filtre? Rappeler l'effet de    l'échantillonnage sur le spectre en fréquence du signal. Que peut-on dire de la réponse en fréquence d'un filtre numérique ?

5. Problème de troncature

Le nombre de coefficients N que le processeur de traitement du signal peut prendre en compte est limité. La fonction de transfert que l'on réalise n'est donc qu'une approximation de celle qui est désirée. Elle sera d'autant meilleure que N est grand. On choisit de prendre pour N un nombre impair. On ne conserve alors que les coefficients de rang 0, de rangs compris entre -1 et -(N - 1)/2 et de rang compris entre1 et (N - 1)/2.

Cela revient à multiplier par 1 tous les coefficients tels que et à multiplier tous les autres coefficients par 0. On multiplie donc la réponse impulsionnelle échantillonnée par une fonction fenêtre rectangulaire W(k) définie par :

d'où le nom de méthode d'approximation impulsionnelle par fenêtre rectangulaire.

Il s'agit de réaliser une troncature de la réponse impulsionnelle.

             5.1 Montrer que . Montrer que les coefficients d'indices -k et k peuvent s'associer dans l'expression de H(f) et que l'on peut écrire :

             5.2 On choisit de conserver N = 7 coefficients.

Calculer ,,et .

Représenter le module de H(f) pour .

Que peut-on dire de l'argument de H(f) ?

Comment évolueraient ces courbes si N augmentait.