Solution détaillée du FN2

 

 

EX FN2:  Synthèse d'un filtre non récursif

1. La relation de récurrence dans le cas d'un filtre non récursif  est une équation donnant la valeur de l'échantillon de sortie [Image]au temps présent en fonction des échantillons d'entrée au temps présent [Image]et aux temps passés [Image]. Cette relation est la suivante : [Image].

2. Les coefficients du filtre sont égaux aux échantillons de la réponse impulsionnelle.

3. L'écriture de la transformée en Z de l'équation de récurrence donne [Image]. Par conséquent, la fonction de transfert est égale à [Image]. Pour avoir la fonction de transfert en [Image], on pose [Image]. D'où :

[Image].

4.1. Il s'agit de la réponse fréquentielle d'un système numérique puisque cette réponse est périodique de "période fréquentielle" [Image]. Dans le domaine de fréquence utile [Image] l'amplitude dans les fréquences basses n'est pas atténuée (en dessous de [Image]) par contre l'amplitude dans les fréquences plus hautes est nulle, donc il s'agit d'un filtre passe-bas de fréquence de coupure [Image], on peut même ajouter qu'il s'agit d'un filtre passe bas idéal.

4.2. La réponse impulsionnelle peut s'écrire sous la forme : [Image]Représentation de cette réponse impulsionnelle :

[Image]

4.3. Si la fréquence d'échantillonnage est Fe = 4.fc, d'après le théorème de Shannon, on ne peut utiliser le filtre que si la fréquence du signal d'entrée est inférieure à [Image]. Le spectre est "périodisé", c'est-à-dire reproduit autour des fréquences ..., -2Fe, -Fe, 0, Fe, 2Fe, ... 

5.1. Compte tenu de l'expression de [Image] qui vient d'être calculée, on a [Image] et [Image]. H(jf) est la transformée de Fourier de h(t). Les coefficients [Image] sont donc les coefficients de la série de Fourier de H(jf). On a alors :

[Image]

             [Image]

             [Image]

             [Image]

5.2. On conserve N=7 coefficients. Calcul des coefficients [Image]:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

L'argument de H(jf) est nul pour tout f : l'entrée et la sortie du filtre restent en phase, et ce quel que soit le nombre de coefficients.

Par contre, si N augmente, le module approche de plus en plus le résultat théorique. Il faut cependant remarquer que la valeur maximale de H dépassera toujours 1, même pour de grandes valeurs de N (phénomène de Gibbs). On peut déduire ce défaut en utilisant des fenêtres autres que la fenêtre rectangulaire.