SOLUTION DETAILLEE POUR LE FN.1

1. Etude de la structure :

1.1 / 1.2 :           x n-1        x n-2

[Image]

           ¼ * x n     ¼ x n + ½ x n-1

Equation de récurrence : [Image]

Fonction de transfert : [Image] ; autre solution : [Image]

1.3 :

[Image]

Equation de récurrence : [Image]

L'avantage majeur de cette structure réside dans le fait :

              · Que l'on a seulement deux multiplications au lieu de trois.

              · On a donc un calcul plus rapide.

              · Quand on sait que la fréquence d'échantillonnage est souvent limitée par le temps de calcul, la notion de calcul rapide prend toute son importance.

2. Détermination de la réponse impulsionnelle

Dans l'équation de récurrence précédente on sait que : [Image]

D'où : [Image]

Justification de la dénonciation de filtre à Réponse Impulsionnelle FINIE :

La réponse impulsionnelle est finie puisqu'elle ne comporte que N+1 échantillons pour un filtre d'ordre N (ici 3 pour un filtre du second ordre).

Relation existante entre la réponse impulsionnelle et la fonction de transfert :

La fonction de transfert est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle (on observe le même phénomène en Laplace).

[Image]

3. Réponse en fréquence du filtre |H(jw)|

En procédant de manière traditionnelle, c'est-à-dire en prenant la fonction de transfert en jw après avoir fait le
changement de variable :  [Image]

Il vient :

[Image]

[Image]

[Image]

N.B. : on peut ici aussi faire le calcul à partir de : [Image]

d'où : [Image]

Réponse en amplitude et diagramme de Bode

[Image]    [Image]

Que dire sur la réponse en fréquence d'un filtre numérique ?

           La réponse fréquentielle est périodique et de "période fréquentielle Fe.

           D'après la condition de Nyquist, la fréquence d'échantillonnage doit être deux fois supérieure à la fréquence du signal. Autrement dit, le signal devra avoir une fréquence maximale inférieure à Fe/2. La portion utile du filtre est donc comprise entre 0 et Fe/2.

          Dans ce domaine de fréquence, le filtre se comporte comme un filtre passe-bas de fréquence de coupure telle
que : [Image] donc [Image].

4. Pour les fréquences comprises entre 0 et Fe/2, la phase s'écrit :

[Image]

f est linéaire donc le filtre s'appelle filtre à phase linéaire.

Retard de propagation lorsque la fréquence f varie :

 
Le retard [Image] est équivalent à une période d'échantillonnage.

[Image]