Analyse des filtres non récursifs ou RIF

1. L' équation de récurrence

       Les filtres RIF ont une fonction de transfert polynomiale qui comporte un grand nombre de coefficients. Ils sont
inconditionnellement stables. Sachant que les filtres RIF sont des systèmes pour lesquels une valeur [Image]
de sortie est obtenue par une somme pondérée d'un ensemble fini de valeurs d'entrée représentant
les échantillons du signal à filtrer, on a :

[Image] avec M l'ordre du filtre.

Remarque : un filtre RIF d'ordre M a M+1 coefficients.

2. Structure de réalisation

      2.1. Structure directe     

[Image]

La mise en oeuvre nécessite pour chaque valeur de sortie M multiplications et M additions. Il faut également M+1 mémoires pour les coefficients et M+1 mémoires de données. Le fonctionnement de cette structure est cadencé dans le temps par la période d'échantillonage Te. On réalise donc cette opération :

[Image]

       2.2 Structure transposée

               [Image]
Ici, les cellules à retard mémorisent des sommes partielles. On réalise en sortie du filte le calcul de [Image] .

Remarque : On remarque qu'il n'y a pas de boucle de réaction, on  n'utilise donc pas les valeurs des sorties précédentes pour calculer la sortie actuelle. C'est pour cela qu' un tel filtre est appellé filtre non-récursif.

3. Réponse impulsionnelle     
    La réponse impulsionnelle est la réponse à la séquence causale [Image] . On a donc :

[Image]

Soit : [Image]
[Image]
etc ...

        Les coefficients de pondération sont donc les valeurs de la réponse impulsionnelle du filtre. Cette réponse s'annule au bout de M+1 valeurs (plus de coefficients). La réponse impulsionnelle étant finie, on parle de filtre RIF.

4. Réponse indicielle      
     C'est le signal [Image] réponse au signal causal [Image] . On a donc :

           [Image]

Soit : [Image]
[Image]
etc...

       La valeur finale de la réponse indicielle est égale à la somme des coefficients du filtre RIF et est atteinte au bout de M+1 sorties.

5. Réponse fréquentielle     
 La fonction de transfert en z s'écrit : [Image]

Remarque : il n' y a pas de pôles mais que des zéros. le filtre RIF est donc toujours stable.

 
     Pour avoir le réponse en fréquence, on remplace z par [Image] , on a donc :

[Image]
Cette réponse est périodique de période fréquentielle [Image] .