Corrigé exercice 5.2 : (cf. exercice 4.2)

 

Calcul de la TFD sur 4 échantillons (4 échantillons de la TFD à partir de 4 échantillons du signal)

Modules de ces 4 échantillons :

Arguments de ces quatre échantillons :

2) Il s'agit de calculs de FFT (non demandés)

a) On appliquera l'algorithme de Fourier rapide pour N = 8, on posera par conséquent : . Il vient :

Ces différentes valeurs w représentent en fait les racines Nème (ici 8ème) de l'unité.

En négligeant D, on peut écrire :

Cette façon de calculer ne fait intervenir que les puissances paires de w (afin de diminuer le nombre total de calculs).

Pour n = 0 ou n = 8 , A0 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ; B0 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ; S0 = 1 + 1 = 2.

Pour n = 1 ou n = -7, A1 = 1 + 0.(-j) + 0.(-1) + 0 = 1 ; B1 = 1 + 0.(-j) + 0.(-1) + 0 = 1 ;

.

Pour n = 2 ou n = -6, A2 = 1 + 0.(-1) + 0.(1) + 0 = 1 ; B2 = 1 + 0.(-1) + 0.(1) + 0 = 1 ;

.

Pour n = 3 ou n = -5, A3 = 1 + 0.(j) + 0.(-1) + 0 = 1 ; B3 = 1 + 0.(j) + 0.(-1) + 0 = 1 ;

.

Pour n = 4 ou n = -4, A4 = 1 + 0.(1) + 0.(1) + 0 = 1 ; B4 = 1 + 0.(1) + 0.(1) + 0 = 1 ;

.

Pour n = 5 ou n = -3, A5 = 1 + 0.(-j) + 0.(-1) + 0 = 1 ; B5 = 1 + 0.(-j) + 0.(-1) + 0 = 1 ;

.

Pour n = 6 ou n = -2, A6 = 1 + 0.(-1) + 0.(1) + 0 = 1 ; B6 = 1 + 0.(-1) + 0.(1) + 0 = 1 ;

.

Pour n = 7 ou n = -1, A7 = 1 + 0.(j) + 0.(-1) + 0 = 1 ; B7 = 1 + 0.(j) + 0.(-1) + 0 = 1 ;

.

b) On appliquera l'algorithme rapide de Fourier pour N = 4, on posera par conséquent : . Il vient :

Pour n = 0 ou n = 4 , A0 = 1 + 0 = 1 ; B0 = 1 + 0 = 1 ; S0 = 1 + 1 = 2.

Pour n = 1 ou n = -3, A1 = 1 + 0 = 1 ; B1 = 1 + 0 = 1 ;

.

Pour n = 2 ou n = -2, A2 = 1 + 0 = 1 ; B2 = 1 + 0 = 1 ;

.

Pour n = 3 ou n = -1, A3 = 1 + 0 = 1 ; B3 = 1 + 0 = 1 ;

.

c) On appliquera l'algorithme de Fourier rapide pour N = 2, on posera par conséquent : . Il vient :

; ;

Pour n = 0 ou n = 2 , A0 = 1 ; B0 = 1 ; S0 = 1 + 1 = 2.

Pour n = 1 ou n = -1, A1 = 1 ; B1 = 1 ; .