Solution détaillée du FN7

Ex FN 7: Traitement d'échos

1. On se place dans le cas où [Image]

          1.1 Afin de respecter la condition de Nyquist-Shannon, il faut que Fe [Image]2.f1 autrement dit :

                                              [Image]

           1.2 La fonction de transfert désirée est en fait l'inverse de celle de l'écho.

                            L'équation de récurrence désirée est la suivante :

                                           [Image]

                            Puisque t = D, on peut écrire la transformée en Z de l'équation de récurrence :
[Image]

                   D'où on tire immédiatement la fonction de transfert [Image]

           1.3 Déduction du type de filtre obtenu:

                   Il s'agit d'un filtre purement récursif (RII) du premier ordre.
                   Les conditions de stabilité sont par conséquent que le pôle "a" soit de module < 1.

2. On considère à présent le cas où [Image]et on pose [Image]

           2.1  Détermination de la fonction de transfert  du filtre H(z):

                            * Ecriture de l'équation de récurrence :

                  [Image]  que l'on peut écrire également[Image]

                         [Image]

           2.2 Tracé de la réponse fréquentielle:
                 on pose [Image]       

                              [Image][Image]

                          d'où [Image]

                   [Image]est une fonction périodique (comme pour tout système numérique, d'ailleurs) [Image]                       pour [Image]c'est-à-dire que pour ces valeurs,[Image] tend vers [Image]:    [Image]

                                   [Image].

            2.3  Détermination du pas d'échantillonnage  Te ( et N ):

                             Il faut que [Image]ou, dans le cas limite, qu'il y ait égalité entre les deux termes, or [Image]donc                                [Image], par conséquent il faut que N=2 => [Image]

(l'image de la partie 2.3 est manquante)