Synthèse des filtres récursifs ou RII

1. Synthèse par invariance impulsionnelle

         Le principe de cette méthode est le suivant : * on détermine la réponse impulsionnelle désirée h(t)

                                                                            * on échantillonne cette réponse impulsionnelle à la fréquence fe et on en déduit la suite {hk}

                                                                            * on recherche la fonction de transfert H(z) du filtre numérique qui a pour réponse impulsionnelle la suite {hk}

2. Synthèse par invariance indicielle

          Elle est semblable à la synthèse précédente : * on détermine la réponse indicielle désirée {d}.

                                                                             * on échantillonne cette réponse indicielle à la fréquence Fe et on déduit la suite {dk}.

                                                                             * on recherche la fonction de transfert H(z) du filtre numérique qui a la même réponse indicielle.

3. Etude des filtres numériques récursifs par la méthode des pôles et des zéros

           Il est plus commode de représenter le numérateur et le dénominateur des filtres comme le produit de filtres du premier ordre et du second ordre.

Rappel : * premier ordre : un pôle et un zéro

              * deuxième ordre : paire de pôles, ou de zéros, complexes conjugués               
          On aura donc une fonction de transfert de la forme : [Image] .

Interprétation pour mieux comprendre :

PB

4. Synthèse par transformation bilinéaire

       Objectif : obtention de la fonction de transfert H(z) d'un filtre numérique qui a la même réponse fréquentielle qu'un filtre analogique de référence H(p), autrement dit le même gabarit.

      Principe : cette méthode a pour objectif de faire coïncider au mieux les domaines analogique et numérique.

      4.1. Fonctionnement de la méthode             
- Tout d'abord on appellera [Image] la pulsation dans le domaine analogique (avec p=j [Image] ), [Image]

la pulsation dans le domaine numérique (avec [Image] ). On se fixera une pulsation de référence, appelée [Image]

; cette valeur est une valeur précise de la pulsation pour laquelle on souhaite que les réponses des filtres analogique de référence et numérique recherché soient identiques. Sans entrer dans des considérations trop théoriques, on peut dire
qu'autour de cette valeur [Image] , les réponses des deux filtres seront très "proches". Loin de cette valeur [Image]

, et plus particulièrement pour des pulsations élevées, les réponses pourront différer sensiblement.

- Avant de rechercher la fonction de transfert du filtre numérique, il est nécessaire de "normaliser" la fonction de transfert du
filtre analogique de référence en effectuant où pn est la variable de Laplace normalisée, [Image] la pulsation de référence.

- De la même manière, on posera [Image] [Image] désigne la "pulsation analogique normalisée".

- La transformation bilinéaire établit une correspondance entre le domaine analogique et le domaine numérique par la
relation : [Image] avec k > 0 : facteur d'échelle. On pourra en déduire : [Image]

- On recherchera la relation entre les pulsations (ou fréquences) dans les domaines analogiques et numériques en effectuant
l'étude fréquentielle : on pose [Image] , calcul de [Image] et Arg(z) :

[Image]

[Image]

[Image]

Représentation de z dans le plan complexe :

Comme [Image]= 1 quelque soit x dans [Image]alors le lieu de z dans le plan complexe correspond au cercle de rayon unité car Arg(z) varie de [Image]à [Image]lorsque [Image]varie de [Image]à [Image].

- Discussion : placement des points correspondant au domaine analogique [Image] , [Image] et [Image]

sur le graphique précédent.
- placement des points [Image] et [Image] correspondant au domaine

numérique.

- Etude de la relation entre les pulsations dans les domaines analogiques et numériques :
en posant [Image] dans le domaine numérique, on déduit :

si [Image]

si [Image]

si [Image]

si [Image]

si [Image]

On peut donc placer les différentes pulsations sur le cercle rayon unité. Lorsque dans le domaine analogique la pulsation
[Image]varie de [Image] à [Image], dans le domaine numérique la pulsation [Image]varie de [Image] à [Image]

ce qui correspond au domaine d'utilisation des filtres numériques.

D'autre part, on peut démontrer que [Image] => Arg(z)=2arctan([Image]/k) avec [Image] , or comme

[Image] donc [Image] , on en déduit que [Image] soit [Image] donc

[Image].

De manière générale, k varie en fonction de [Image] et[Image] . De façon à obtenir une fonction de transfert unique, on se
placera en pratique dans le cas où [Image] d'où [Image]

      4.2. Utilisation pratique

    Pour utiliser cette méthode, on procédera de la manière suivante :

- Faire l'étude du filtre analogique de référence H(p) (manuellement ou informatiquement),

- Définir une pulsation de référence[Image] , une pulsation que l'on voudra être identique dans les deux domaines analogique et numérique (une fréquence caractéristique du filtre, typiquement la pulsation de coupure ou la pulsation se trouvant au centre de la bande passante ou de la bande atténuée), puis calculer la fonction de transfert de Laplace normalisée (en[Image]) en utilisant la relation [Image].

- Déterminer le facteur d'échelle k.

- Ecrire la fonction de transfert en z après avoir effectué le changement de variable :

[Image].

- Etudier le filtre numérique obtenu afin de vérifier ces spécifications.