Solution détaillée du FN4

 

Ex FN.4 :  Etude d'un filtre numérique récursif du premier ordre

1. Fonction de transfert :

[Image]

[Image]

[Image]

2. Structure du filtre possible :

                                [Image]

3) Réponse impulsionnelle :

             A partir de l'équation de récurrence :     

                   [Image]

                   [Image]= 1 pour n=0 et 0 pour n diférent de 0       

                   [Image]  

             D'après la fonction de transfert :

                    [Image]

                    On applique la transformée en Z inverse à cette équation et on obtient :

                     [Image]

                     A priori, on a une infinité de coefficients donc un filtre RII. La condition sur a pour que le filtre purement récursif du premier ordre soit stable est : [Image].

                     La transformée en Z de la réponse impulsionnelle est la fonction de transfert.

4. Etude de la réponse indicielle         

             4.1. [Image]

                    [Image]                   

                     [Image]

             4.2. Transformée en z de la réponse indicielle :

                     [Image]     

            4.3. On décompose Y(z) en éléments simples :

                     [Image]

                   d'où le système : [Image]d'où : [Image]et[Image].

                   On a donc : [Image]

                   On applique la transformée en Z inverse sur cette équation et cela donne : [Image]

            5.1. [Image]

                   [Image] = [Image]

                    [Image]

                    et [Image]
                

On obtient alors les représentations suivantes :   

[Image] [Image] [Image]

[Image] [Image]

 

Il s'agit d'un filtre passe bas si a>0 et d'un filtre passe-haut si a<0