Analyse des filtres récursifs ou RII

 

1. Introduction             
        Les filtres récursifs ont une équation de récurrence de la forme : [Image] .

Après avoir appliqué la transformée en Z à cette équation, on peut écrire la fonction de transfert sous la forme :

[Image]

Remarque :  * le filtre est d'orde q (q pôles au dénominateur)                     
                   * le filtre est dit purement récursif si le numérateur ne contient que le terme en [Image] .

2. Analyse des filtres purement récursifs du premier ordre

        2.1. Equation de récurrence et fonction de transfert               
             Ce type de filtre a une équation de récurrence de la forme : [Image] ( [Image] et [Image] sont des réels).

D'où : [Image] .

        2.2. Réponse impulsionnelle

               2.2.1. A partir de l'équation de récurrence                         
 C'est la réponse à une impulsion de Dirac, on a donc : [Image] car cette impulsion vaut 1 pour k=0 et 0
ailleurs.

On en déduit : [Image].

Suivant la valeur de [Image] , on a des réponses différentes : * Si [Image] , le filtre est stable.

                                                                                      * Si [Image] , le filtre est à la limite de l'instabilité.

                   
                                                                                      * Si [Image] , le filtre est instable.

               2.2.2. Calcul à partir de la fonction de transfert
On sait que : [Image]

D'où [Image] . On effectue la transformée en Z inverse pour trouver : [Image] .

Remarque : la fonction de transfert d'un système est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle.

        2.3. Réponse indicielle         
C'est la réponse à un échelon : [Image] .

Si on suppose [Image] , on a : [Image]

         2.4. Réponse fréquentielle 
[Image] avec [Image]

D'où : [Image] et [Image]

                                                                                     
                                                                                    [Image]
à kpi près

3. Analyse des filtres purement récursifs du second ordre

     Un tel filtre a une équation de la forme : [Image] avec [Image] , [Image] et [Image] réels.

Ainsi qu' une fonction de transfert en Z du type : [Image] .

4. Analyse des filtres récursifs d'ordre quelconque

        Il faut se ramener à une combinaison des éléments suivants : * un filtre non récursif d'ordre quelconque

                                                                                                   * des filtres purement récursifs du second ordre

                                                                                                   * des filtres récursifs du second ordre avec des pôles complexes conjugués.

                                                                                                   * un filtre récursif du premier ordre (éventuellement)