Résultats exercice 2.3 :

 

a) Première démarche (calcul complet) : Le signal en question est un signal périodique, par conséquent effectuer sa transformée de Fourier équivaudra à effectuer son développement en série de Fourier. La période de la fonction cos étant égale à celle utilisée pour la détermination des cn, on aura w = 2.p.f0.

Calcul complet cn:

=

       =

       =

       =

* Si 1-n 0 et 1+n 0 alors :

      =

      =

      = = 0

* Si n = 1 alors :

=

      = =

* Si n = -1 alors :

=

        = =

Par la première démarche, on obtient une raie 1/2 en f0 et une autre en -f0.

Seconde démarche (par le raisonnement direct) : Le signal cosinus ne comporte qu'une sinusoïde en f0 (d'amplitude 1) par conséquent le spectre unilatéral contient une raie de hauteur 1 en f0 donc le spectre bilatéral contient deux raies de hauteur 1/2 en f0 et -f0.

Troisième démarche (par identification) : il s'agit de redémontrer simplement que la reconstruction d'un signal cosinus ne nécessite qu'une sinusoïde :

         = =

Par conséquent et par identification, a1 = 1, tous les autres coefficients du développement en série de Fourier sont nuls.

Quatrième démarche (par utilisation des tables) :

           

         

          obtenu d'après les tables de transformée (cf. poly), on s'aperçoit que la transformée

de Fourier d'un signal périodique sinusoïdal nous donne bien une raie en f0 et une raie en -f0 multipliées par 1/2 => spectre bilatéral.

b)

           

           

           

On peut également utiliser l'ensemble des démarches décrites en a).