Objectifs et besoins mathématiques

 

1. Objectifs du cours de traitement du signal

Le cours de traitement du signal a pour objet :

Pour traiter et analyser les signaux, il est habituel d'étudier conjointement ce qui se passe dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel. L'utilisation du domaine temporel semble assez naturelle et permet de mettre en évidence certaines caractéristiques du signal :

Le spectre du signal, c'est-à-dire sa représentation fréquentielle, a pour objet de faire apparaître les plages de fréquences utilisées par le signal, ceci notamment afin de rendre compatibles le signal et son canal de transmission.

Exemple de la modulation d'amplitude qui permet de transmettre un signal (voix, musique) par voie hertzienne, dans le cas d'une station de radio.



Sur les dessins ci-dessus, nous constatons :

Le dessin obtenu dans le domaine fréquentiel est très aisé à interpréter et à construire graphiquement, c'est la raison pour laquelle nous travaillerons dans la suite avec ces spectres.

Le plan du cours est le suivant :

2. Notions de mathématiques à revoir (ou à voir)

De manière à ne pas perdre trop de temps avec des notions qui doivent être connues, vous trouverez ci-dessous les pré-requis mathématiques indispensables pour pouvoir suivre le module TdS de 1ère Année. N'hésitez pas à travailler ceux qui peuvent vous poser problème.

2.1. Intégration par parties

But : Cette technique permet entre autres de calculer des intégrales de type

ou des intégrales de type :

c'est-à-dire des intégrales de produit entre un polynôme et une fonction de type exponentielle ou trigonométrique. De fait, cet outil sera notamment très utile pour le calcul de spectre de signaux triangulaires.

Démonstration : Si f et g sont dérivables sur [a,b] :  (f.g)' = f'.g + f.g'

d'où :  ,

c'est-à-dire :

Utilisation :

Exemple 1 : soit à calculer , on pose :

d'où .

Exemple 2 : soit à calculer , on pose :

d'où

           

.

2.2. Suites, séries

L'outil mathématique utilisé est , cet outil permet d'écrire des sommes de manière condensée.

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Un résultat intéressant est la somme de la série géométrique :

 où a est appelée la raison de la série géométrique.

2.3. Maniement des nombres complexes (module, argument, partie réelle, partie imaginaire).

Un nombre complexe c s'exprime par c=a+jb, avec (a,b) , a est la partie réelle et b la partie imaginaire.

Le module d'un nombre complexe s'écrit

L'argument du nombre complexe c s'écrit :

Il est également possible d'écrire c sous la forme : .

Exemple : c = -1 - j, ,

, on peut écrire

.

2.4. Maniement de la trigonométrie et des exponentielles complexes.

cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb, cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb,

sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa, sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb,

cosa.cosb = 1/2 [cos(a+b) + cos(a-b)], sina.sinb = 1/2 [cos(a-b) - cos(a+b)], sina.cosb = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)]

, ,

, ,

, sin2a = 2sina.cosa,

,

Pour tout entier rationnel n,

Formules d'Euler :; ;

;

Autres formes des formules d'Euler : ;

.

2.5. Dérivées et primitives

Primitives

Fonctions

Dérivées

2.6. Sinus cardinal

Ce signal, très utile en télécommunications, ne pose pas de problème particulier concernant son étude ; le seul point problématique est 0 qui se résoud de la manière suivante :

Une autre définition de sinus cardinal que l'on trouve quelquefois dans la littérature et notamment dans Matlab est la suivante :