Etude des filtres numériques récursifs par la méthode des pôles et zéros

Afin de faciliter l'étude des filtres récursifs, mais aussi pour améliorer la stabilité numérique de ceux-ci, il est commode de représenter respectivement le numérateur, et le dénominateur des filtres récursifs comme étant le produit de filtres du premier ordre (un pôle ou un zéro) et du second ordre (paire de pôles, ou de zéros, complexes conjugués).

On factorisera donc la fonction de transfert de la forme suivante :

Rappel : la condition de stabilité est que tous les pôles pi soient contenus dans le cercle unité.

On pourra de cette façon programmer les filtres sous Matlab de la manière suivante :

[Z,P,K] = BUTTER(...), the zeros and poles are returned in length Ncolumn vectors Z and P, and the gain in scalar K.

 

Interprétation de la position des pôles et zéros

Lorsqu'un zéro est placé sur un point donné du plan en z, la réponse fréquentielle sera de 0 au point considéré. Un pôle quant à lui produira un pic au point correspondant.

 

 

 

 

DESSIN HAUT DE LA PAGE 379 LIVRE DSP

 

 

 

 

Sur la figure de gauche, le cercle complet correspond à une fréquence d'échantillonnage (-180 correspondant à -fe/2 et 180à fe/2).

Des pôles proches du cercle unité sont à l'origine de larges pics tandis que des zéros proches ou sur le cercle unité produisent des minima. Il est donc possible, par un placement judicieux des pôles et des zéros, d'obtenir un filtre sélectif simple.

N.B.1 : Pour que les coefficients du filtre soient réels, il faut que les pôles et zéros soient réels (sur l'axe des réels)ou par paires de complexes conjugués.

N.B.2 : Il existe une relation "empirique" entre la largeur de la zone de transition et la position des pôles sur un rayon éventuellement inférieur à :

valable uniquement si r > 0,9